本文最后更新于：2024年3月21日中午

问题引入

题目

现在有

现有12枚外观一致的金币，其中有一枚假币。试问能否利用无砝码天平只称量三次就找到这枚假币？（注：真币假币孰轻孰重未知，天平左右轻重信息可知。）

原题

12球里有一个坏的，轻重未知，请问，最少称几次，能把它挑出来且知道轻重。

简化题目

8中1重

在解决12枚金币之前，我们先来看看“8枚金币中有一枚重假币”是怎么解决。看完之后，再看12枚金币，可能会有所帮助。

flowchart TB

st([为8枚金币以1到8编号])---c1{234vs678}
c1---|平衡|m1(15有假)
c1---|不平衡|m2(由倾斜情况知假币在哪一侧\n这里假设是234更重)
m1---c21{1vs5}
m2---c22{2vs3}
c21---|必不平衡|m11(重的是假币)
c22---|平衡|m21(4为假币)
c22---|不平衡|m22(重的是假币)

12中1重

现在，将简化题目再升级一下，变成12枚金币，但仍然已知其中有一枚重假币。解题思路就是将12枚分为甲乙丙三组，每组4枚。不妨令甲乙两组比较。若平衡，则丙组有假，至多两次称量即可锁定假币；若不平衡，则变为上面的8金币问题。

原题解

不知在看过简化题目后，是否对你有所启发。其实就是确定真币，但下一次称量时，真币不会全放在一侧，避免信息冗余。

首先声明：解法不唯一！主要是为解题思想提供一个实例，所以按以下编号称量便于理解。

将12枚金币以16进制分别编号为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C 。

因为只有一枚假币，且假币重量和真币不一样，所以如果天平平衡，则两边一定都是真币；如果不平衡，则假币一定在其中一边，且另一边都是真币。但仅看本次称量，无法得知哪一侧为真，哪一侧为假（因为假币轻重未知）。因此需要记录前几次称量的具体结果。

以下称量结果以平衡和不平衡两种情况作为分支，有些情况可以直接下结论，但大部分情况还需根据每次称量结果左沉右沉来判断。

flowchart TB
st([为12枚金币从1到C以16进制编号])---c1{1234vs5678}
c1{1234vs5678}-->|平衡|m11(1-8是真币)
c1{1234vs5678}-->|不平衡|m12(9ABC是真币)
m11---c21{19ABvs2345}
m12---c22{19ABvs2345}
c21{19ABvs2345}--->|平衡|m21(C是假币)
c21{19ABvs2345}--->|不平衡|m22(9AB有假,知假币轻/重)
c22{19ABvs2345}--->|平衡|m23(678有假,代入第一次称量\n知假币轻/重)
c22{19ABvs2345}--->|不平衡|m24(1-5有假)
m22---c31{137Avs269C}
m23---c32{137Avs269C}
m24---c33{137Avs269C}
c31-->|平衡|m31(B是假币)
c31-->|不平衡|m32(由轻重知假币)
c32-->|平衡|m33(8是假币)
c32-->|不平衡|m34(由轻重知假币)
c33-->|平衡|m35(45有假\n先代入第二次称量知假币轻/重\n再代入第一次称量知假币)
c33-->|不平衡|m36(123有假\n先带入第一次称量知假币轻/重\n再根据第二三次称量知假币)

从左到右，最右边一条支线相对难想一点。三次称量首先可得假币存在与1、2、3中。此时先带入第一次称量知假币轻/重。以假币偏重为例，第一次称量结果应当左沉。根据第二次称量结果，若是左沉，则说明1就是假币；如若右沉，则假币在2、3之间，还需根据第三次称量结果判断哪个是假币。假币偏轻也是同理，此不再赘述。